NUMERO = Ente matematico che caratterizza un insieme di cose o persone. E’ espresso con segni convenzionali (cifre) ai quali è assegnato un valore di quantità.
I NUMERI POSSONO ESSERE CLASSIFICATI IN:
LIVELLO 1: NUMERI NATURALI (N): numeri che rappresentano la successione in un insieme. Sono numeri interi e positivi. (Es. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ecc. )
– INTEGRI (WHOLE): è come la serie dei numeri naturali, ma comprende anche lo zero. (0, 1, 2, 3, 4, 5, ecc.). Questa distinzione è necessaria perchè comprendendo lo zero nella serie dei numeri naturali, si è spesso costretti ad escluderlo, ed a trattarlo come un’eccezione, quando si tenta, ad esempio, di utilizzarlo al denominatore nella costruzione dei numeri razionali.
I NUMERI NATURALI SI POSSONO SUDDIVIDERE IN:
CARDINALI: numeri che esprimono la quantità di elementi appartenenti ad un insieme. (Es. 1, 2, 3, 4, ecc.)
ORDINALI: numeri che indicano l’ordine relativo tra gli elementi di un insieme. (Es. 1°, 2°, 3°, 4°, ecc.)
— Nella serie dei numeri cardinali si possono evidenziare le seguenti suddivisioni:
NUMERI PARI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che hanno come divisore il numero 2.
(Es. 2, 4, 6, 8, 10, 12, ecc.)
NUMERI DISPARI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che NON hanno come divisore il numero 2.
(Es. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ecc.)
NUMERI PRIMI: sono numeri naturali, positivi ed interi, che hanno come divisori solo il numero 1 ed il numero stesso. (Es. 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ecc. )
LIVELLO 2: NUMERI RELATIVI (Z):è l’insieme che comprende i numeri INTERI, POSITIVI E NEGATIVI. (Es. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ecc.)
LIVELLO 3a: RAZIONALI (Q): sono quei numeri con i quali è possibile effettuare le operazioni fondamentali dell’aritmetica (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Un numero razionale può anche essere espresso in forma frazionaria (es. 27/5 o in forma decimale es. 5,4).
I numeri RAZIONALI si dividono in:
RAZIONALI ASSOLUTI (Q+): solo con segno positivo.
RAZIONALI RELATIVI : con segno positivo e/o negativo.
NUMERI DECIMALI PERIODICI: sono numeri razionali, quozienti di una divisione, che non hanno mai termine. (Esempio 13/7= 1,85714285…………ecc.). Quando un numero od un gruppo di numeri continua a ripetersi, esso è chiamato periodo ed è rappresentato con una linea posta sopra il numero od i numeri che si ripetono. (Es. 33/9= 3,666666…., si scrive:). Un numero periodico è semplice se il periodo inizia subito dopo la virgola, misto se no inizia subito dopo la virgola; in tal caso il numero o gruppo di numeri, che precedono il periodo è detto antiperiodo.
LIVELLO 3b: IRRAZIONALI (I): sono quei numeri che non possono essere espressi sotto forma di frazione, (es. p (=pi greco),, Log5, ecc.).
LIVELLO 4: REALI (R): è l’insieme dei numeri RAZIONALI E IRRAZIONALI (positivi e negativi).
LIVELLO 5: COMPLESSI (C): è l’insieme delle coppie ordinate di numeri REALI. I numeri complessi hanno la forma tipica: a + ib dove a e b sono numeri reali e razionali ed i= (unità immaginaria).
Un altro modo di dividere i numeri è tra ALGEBRICI e TRASCENDENTI:
ALGEBRICI: sono quei numeri che possono essere risolti con un’equazione di coefficienti razionali. Ad esempio è algebrico perché soddisfa l’equazione x2= 2. Allo stesso modo sono algebrici anche Ö3 eÖ12 , la radice cubica di 52, ecc. E’ evidente che tutti i numeri razionali sono algebrici perché, ad esempio 15/7 si può esprimere come 7x=15. Anche i numeri irrazionali possono essere anche algebrici.
TRASCENDENTI: sono numeri reali o complessi, risultati di radici con coefficienti razionali, che non possono essere espressi con equazioni algebriche. Oltre i numeri e e p, è trascendente, ad esempio, anche il numero 2Ö2 e in genere ogni numero della forma ab con a numero algebrico ¹0 e 1 e b un numero algebrico irrazionale. E’ trascendente anche Log2 ed in genere Logn quando n non è una potenza di 10.
L’insieme dei numeri algebrici è numerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali è non numerabile; ciò implica che neanche l’insieme dei numeri trascendenti è numerabile, cioè, in maniera molto significativa, che esistono più numeri trascendenti che algebrici. Comunque, sono note soltanto poche classi di numeri algebrici e dimostrare che un dato numero è trascendente può essere molto difficile. Un’altra proprietà di un numero, e cioè la normalità, potrebbe aiutare a determinarne la trascendenza.
L’esistenza dei numeri trascendenti fu dimostrata per la prima volta nel 1844 da Joseph Liouville, che mostrò alcuni esempi, tra cui la costante di Liouville: